Función exponencial

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,  crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

Función logarítmica
Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 

El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 
Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 
La igualdad N  ,donde N es un número real y , es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:

Dada la base a y el exponente x ,encontrar N.  Dados N y a, encontrar x. 
 
 

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N, cuando N y a son reales positivos y .  Lo anterior da lugar a la siguiente definición: 

Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces: La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base  ,  denotada por  ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número  se llama logaritmo de x en la base a.  La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.  En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.  DEFINICIONES: i. Una función f es PAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = f(+x). ii. Una función f es IMPAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = -f(x). OBSERVACIONES i. Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. (Ver fig. 9.). fig. 9. También, es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x es PAR. Asi, la función es PAR. ii. Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. (Ver fig. 10). fig.10. Función Inversa